EXPRESIONES ALGEBRAICAS

INSTITUCIÓN EDUCATIVA “LA VICTORIA DE AYACUCHO”
ÁREA: MATEMÁTICA
GRADO: TERCERO
Prof. PABLO CONDORI CCENTE
HVCA - 2007







































































































POLINOMIO
Antes de definir al polinomio veremos cómo se origina y de qué se trata esta importante definición que en el Álgebra se empleará con mucha frecuencia y para ello se harán algunas definiciones previas.

EXPRESIÓN ALGEBRAICA.- Son expresiones denotadas matemáticamente en las cuales las variables son sólo operadas con la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación en una cantidad limitada de veces
Ejemplos de expresiones algebraicas son:
* 7xy3 – 4x5 y2 + 3xz3
* 4x + 2p
* x2 + yx

TÉRMINO ALGEBRAICO.- Es una expresión algebraica donde no están presente las operaciones de adición y sustracción.

TÉRMINOS SEMEJANTES.- Dos o más términos serán semejantes si a los exponentes de las respectivas variables son iguales.
Ejemplos:
P(x;y) = 4x2y7 y Q(x;y) = –2x2y7
P(x;y) = 5x2y3 y S(x;y) = 2xy7
M(x;y) = – y N(x) =

EJERCICIOS DE APLICACIÓN


1. Son términos semejantes:
I. 4xy2; -2x2y
II. 3abc; -3a2b2c
III. 15m2n3; 3n3m2
IV. -20z2; 2z2x
Rpta: ………………
2. Colocar si las proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F):
I. En un término algebraico los exponentes de las variables no pueden ser letras. ( )
II. es un término algebraico. ( ) ( )
III. 5x4y3z2; -2x4y3z2 son términos semejantes. ( )
3. Si los términos t1 y t2 son semejantes.
t1 = 30x4 t2 = 4xa
Calcular:
Rpta: ………………
4. Dado los términos semejantes :
23am+3 ; .
Calcular:
Rpta: ………………
5. Si los siguientes términos son semejantes:
4xa+3y4 ; -5x8yb+5
Calcular:
Rpta: ………………
6. Dados los términos semejantes:
2xa+8yb+5 ; 3x12ya+2b
Calcular: R = a . b
Rpta: ………………
7. Dados los términos semejantes:

Calcular: La suma de coeficientes.
Rpta: ………………
8. Indicar los coeficientes de los términos semejantes siguientes:
-13axa+8y7 ; 4bx9y3b
Rpta: ………………
9. Dados los términos algebraicos semejantes:
(c+4)ac+3bd+4 ; (d+2)a2c+1b2d+2
Calcular: Rpta: …………….…
10. Calcular de los términos semejantes:
(a + 4)x5 ; (2 + a)xa+2
Los coeficientes:
Rpta: ………………
11. Si: t1 = 4x3y5z4 y t2 = -3xayb+1zc+2 son semejantes. Calcular:
12. A=a+b +c Rpta: ……………
12. Si los términos semejantes presentan iguales coeficientes:
(a + 4)xayb+3 ; 7xay7
Calcular la suma de los exponentes.
Rpta: ………………
13. Dados los términos semejantes:
7xa+1yb+2zc+3 ; -4xb+1yc+2z7
Calcular:
Rpta: ………………
14. Dado los términos semejantes :
3a2m+4 ; .
Calcular: m + 1
Rpta: ………………
15. Si los siguientes términos son semejantes:
5xa+4y7 ; -3x5y3+b
Calcular:
Rpta: ………………
TAREA DOMICILIARIA

1. Dados los términos semejantes:
3xa+5yb+7 ; -x7ya+2b
Calcular: R = a . b
Rpta: ………………

2. Dados los términos semejantes:
Calcular: La suma de coeficientes. Rpta: ………………

3. Indicar los coeficientes de los términos semejantes siguientes:
-2axa+by5 ; 12bx8yb+4
Rpta: ………………
4. Dados los términos algebraicos semejantes:
(a + 4)ca+3db+4 ; (b+2)c2a+1d2b+2
Calcular:
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
5. Calcular de los términos semejantes:
(b + 4)x7 ; (2 - b)xb+2
Los coeficientes:
a) 9 y -3 b) 9 y 3 c) 9 y 4
d) -9 y 4 e) N.A.
6. Si: t1= 3x4y5z3 y t2 = -2xayb+2zc+1 son semejantes.
Calcular: A = a + b + c
a) 10 b) 9 c) 8
d) 7 e) 6
7. Si los términos semejantes presentan iguales coeficientes:
(b + 3)xbyc+3 ; 10xby5
Calcular la suma de los exponentes.
a) 13 b) 12 c) 11
d) 10 e) 9
8. Dados los términos semejantes:
3xa+4yb+3zc+2 ; -2xb+4yc+3z8
Calcular:
a) 7 b) 6 c) 5
d) 4 e) 3

REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES.-Para sumar dos o más términos, se halla la suma de sus coeficientes y a dicho número se le afecta (multiplica) la variable común.
Ejemplo:
Reducir:
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………………………..

En caso que aparezca signos de agrupación, lo que se sugiere es suprimir los signos de agrupación aplicando ley de signos de la multiplicación.


o Cuando el signo (+) precede a un signo de agrupación podemos eliminar éste y la expresión no varía. Ejemplo:
o Cuando el signo (-) precede a un signo de agrupación, para eliminar éste debemos cambiar de signo a términos de la expresión que aparece en el interior. Ejemplo:



EJERCICIOS DE APLICACIÓN

REDUCIR:

1. 2x2 + 3x2 – 7x2 + 10x2
Rpta: ………………
2. 2xy + 4xy – 5xy – 10xy
Rpta: ………………
3. 5x3y2 + 3y2x3 + 11x3y2 – 25y2x3
Rpta: ………………
4. a3b4c5 + 2b3c4a5 + 3c3a4b5 – 7b3c4a5 + 2a3b4c5 – 10c3a4b5
Rpta: ………………
5. 2x3y4a2 + 5a2x3y4 – 3x2y4a3 + x3a4y2 + 7x2y4a3 – x3y2a4
Rpta: ………………
6. 3x + {8x2 – 3x} – [-2x + 8x2]
Rpta: ………………
7. -7x2 – (3x + w) + [7x2 + w]
Rpta: ………………
8. –(4x-5)+[3x-13]–{-5x–8+w}–{5x-w}
Rpta: ………………
9. –{5w – 7 + y}+ [-3 + 4x + y] – {2 + 2w} + {14w – 2 – 4x}
Rpta: ………………
10. 3y – {2y – (3w + 5x) + [-5w + 3y] + 10w}
Rpta: ………………
11. {(3y – 7 - w) + 4 – [-2y – 3x - 3] – 5y} + 10x
12. -3x + {5w – [5z – 3x – (-5w + 4z)]} + z
Rpta: ………………
13. 4w – {-8x – [8y – 4w + (8x – 8y)]} – 9x
Rpta: ………………
14. 3x + {9xw – {2x – 4xw – (5xy2 – 4 – 7x) + [3x + 13xw – (-3x + 4)]} + 10xy2}
Rpta: ………………
15. -7x – {-5x2 + 7x} + (2x – 5x2)
Rpta: ………………
16. 7w2 + [-3y - z] – {-3y – 4z + 7w2}
Rpta: ………………
17.
Rpta: ………………
18. Rpta: ………………
19.
Rpta: ………………
20. x2y3z4 + x2z3y4 + y2x3z4 + x2z3y4 + y2z3x4 + z2x3y4 + z2y3x4 + y2z3x4 + y2x3z4 + z2x3y4 + z2y3x4 + x2z3y4
Rpta: ………………
21. Rpta: ………………
22. Reducir los términos semejantes:
(2+c)x4+x4+(c–4)x9-c+3x4
Rpta: ………………
23. Reducir los términos semejantes:
(a+b)xa+b+axa+b+bxa+b+4x4
Rpta: ………………
24. Al reducir los términos semejantes:
mxm + nxn + pxp + qxq + x7
queda:
Rpta: ………………
25. Luego de reducir los términos semejantes:
(a + 1)xayb + (b + 1)x3y4 +2x3y4
queda:
Rpta: ………………
26. Reducir:
Rpta: ………………
27. Reducir los términos semejantes:
(c + 4)x4 + (b + c)xb – 4xc+2
Rpta: ………………
28. Reducir los términos semejantes:
(a+b)xa+b+(c+d)xc+d + (e+f)xe+f + x3
Rpta: ………………














TAREA DOMICILIARIA

REDUCIR:

1. (3x + 2) – [9x + 4 - w] + {-7x – 5 - w} – (7w – 13x - 7)
Rpta: ………………
2. (4w – y + 3) - (8y – 3 – 7w) + [-4 – 9w + 9y] – {-2w + 2}
Rpta: ………………
3. -4z + {-2w + (7y – 3w) – [3y – 4z] - y}
Rpta: ………………
4. {-(-4x – 2 + y) – 7 + [3x – 4w + 5] – 7x} + 12w
Rpta: ………………
5. -7w – {-3z – [-8y + 7w + (-3z + 11y)]} – 3y
Rpta: ………………

6. -3y – {-8w – [-7z + 3y – (-w – 7z)]} – 9w
Rpta: ………………
7. -7x2 – {-9x3 – {-7x2 – 16x3 – (-2xy – 4 – 12x2) – [-7x2 – 7x3 – (-5x2 - 10)]} -5xy}
Rpta: ………………
8. Reducir si los términos son semejantes:
(a+2)xb + (c+4)x7 + (b-4)xa+3 – bxc+4
a) 10x7 b) 9x7 c) 8x7
d) 7x7 e) 6x7
9. Dados los términos semejantes (reducir):
axa + bxb + cxc + dxd + exe + 2x
a) 7x b) 2x c) 3x
d) 4x e) 5x
10. Si los siguientes son términos semejantes:
(a+1)xa+b ; (b+1)xa+c ;(c+1)xa+3 ; 2x5
reducirlos:
a) 13x5 b) 14x5 c) 15x5
d) 7x5 e) x5






POLINOMIOS
Son expresiones algebraicas racionales enteras en las cuales las variables están afectadas sólo de exponentes enteros positivos.
Ejemplos:
P(x;y) = 5x3y7 ® (monomio)
R(x;z) = 2x2z + 5z5 ® (binomio)
F(x) = 3 – 5x + x2 ® (trinomio)
Notación:
* P(x) ® es un polinomio que tiene una sola variable.
* P(x,y) ® es un polinomio que tiene dos variables.
GRADO DE UN MONOMIO:
A. Grado Relativo:
Es el grado respecto de una de sus variables y el valor es el exponente que afecta a dicha variable.
Ejemplo:
Sea P(x;y;z) = x5y3z
GR(x) =
GR(y) =
GR(z) =
B. Grado Absoluto:
Es la suma de los grados relativos.
Ejemplo:
Sea R(x;y;z) = 2x4y5z3
GA =
GRADO DE UN POLINOMIO:
A. Grado Relativo:
Es el grado del polinomio respecto de una de sus variables y el valor es el mayor de los grados relativos de la variable en cada término.
Ejemplo:
Sea P(x,y)= 3x3y5 – 7x2y9 + 5x7
GR(x) =
GR(y) =
B. Grado Absoluto: (Grado del polinomio)
Es el mayor de los grados absolutos de cada término.
Ejemplo:
Si F(x;y) = 2x2y3 – 7x6y + 4x4y4
® ………………………………..
Ejemplo:
P(x;y) = 5x2y5 + 6x7 + 7xy6
® …………………………………
EJERCICIOS DE APLICACIÓN


1. En los siguientes monomios de el valor de los GR de cada variable :
a. M(x, y) = 28x3 y3
b. M(x, y) = -12x5 y7z
c. M(x, y, z) = 33xy4 z5
d. M(x, y) = 10xy3
e. M(x, y) = 3x5 y

2. El siguiente monomio es de GA = 12. Hallar “n” : M(x, y) = 2xn-2 y6
Rpta: ………………

3. Halle el valor del coeficiente si sabemos que el monomio es de
GRx = 3. M(x, y) = -3nxn-3 y
Rpta: ………………

4. Halle el valor de “n” en el siguiente monomio : M(x, y) = 11xn y7 si sabemos que GA = 12
Rpta: ………………

5. Calcular “n” si el monomio :
M(x, y) = 44 x3n y2 es de GA = 11
Rpta: ………………

6. Hallar el coeficiente si GA= 14. M(x, y) = (n + 2)xn+5 y2n
Rpta: ………………

7. Halle el coeficiente si GRx = 2;
GRy = 3 en :
M(x, y) = (a + b - 5)xa+1 yb-3
Rpta: ………………

8. Calcule el GRx si GRy = 12 en : M(x, y) = 12xn-2 yn+4
Rpta: ………………

9. En el monomio M(x,y)=4xn-3 y4n. Calcule GRy si GRx = 4
Rpta: ………………

10. En el siguiente polinomio:
P(x) = 2xa-2 – 7xa + 12xa+4. Calcule el valor de a si:
GA = 12
Rpta: ………………
11. En el polinomio: P(x,y)=x2a+4y – 7xay2 – 8xa-3y2. Calcular el valor de a si GRx = 8
Rpta: ………………
12. Calcule el valor de “a” si GA=14 en: P(x)=7x2ya+2–12xa+1ya+3+18xa+2
Rpta: ………………
13. Calcule la suma de coeficientes si GRx = 3.
P(x)= xa+1 – axa+2 + xa+3
Rpta: ………………
14. Halle “a” en:
P(x) = ax22+a – 12x2 + 27x3 si la suma de coeficientes es cero.
Rpta: ………………
15. ¿Cuál es el GRx en el problema anterior?
Rpta: ………………














TAREA DOMICILIARIA

1. En los siguientes monomios de el valor de los GR de cada variable :
a. M(x, y) = 7x2 y9
b. M(x, y) = 8xy9
c. M(x, y) = -12x3 y6
d. M(x, y) = 24xy
e. M(x, y) = -72xy6
2. Hallar el valor de “n” si GA = 12 en : M(x,y)=3xn+2 yn
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 4
3. Hallar el coeficiente si sabemos que el monomio tiene GRy = 13.
M(x, y) = (2n + 3)x4 yn+3
a) 22 b) 13 c) 23
d) 20 e) 19
4. Halle el valor de “n” en el siguiente monomio : M(x, y) = 25xn yn+2 si GA = 12.
a) 5 b) 10 c) 6
d) 8 e) 12
5. Halle “b” si GA = 24 en : M(x, y) = 24xb+2 y2b+1
a) 5 b) 10 c) 7
d) 21/2 e) -7
6. Calcule el coeficiente si GA = 11.
M(x, y) = (a + 4)xa+2 y2a
a) 7 b) 9 c) 3
d) 2 e) 4
7. Calcule el coeficiente si GRx= 12 y GRy=9.
M(x,y)=(a+b+24)xb+15 y9+a
a) 22 b) 24 c) 21
d) 12 e) 9
8. En el siguiente polinomio :
P(x) = 2x4 + 4x5 + 6x2 – 3. ¿Cuál es el GA?
a) 4 b) 2 c) 3
d) 5 e) 0
9. Calcule la suma de coeficientes si GRx = 2.
P(x) = 2axa – axa-1 + 3xa-2
a) 6 b) 4 c) –2
d) 5 e) 3
10. Calcule el valor de “a” si
GA = 10 en :
P(x) = -2xya + 7x2 ya – 3x2 y7
a) 7 b) 8 c) 10
d) –3 e) 2
11. Calcule el valor de “a” si
GRx = 11 en :
P(x,y,z)=-2x2+ayz2+2ya+5 – 3xyza+4
a) 9 b) 7 c) 2
d) 1 e) 6
12. En el problema anterior halle GRy :
a) 7 b) 16 c) 8
d) 14 e) 13
13. Del problema 11, ¿cuánto vale GRz?
a) 16 b) 7 c) 9
d) 14 e) 13
14. Halle el valor de “n” en :
M(x, y) = 2x2 yn – 2yn+2 + 3xn-3 y; si : GA = 12
a) 10 b) 5 c) 8
d) 15 e) 12
15. Del problema anterior, ¿cuánto vale el GRy?
a) 10 b) 6 c) 8
d) 12 e) 2

POLINOMIOS ESPECIALES

POLINOMIO ORDENADO.- Con respecto a una variable es aquel que presenta a los exponentes de dicha variable colocados en forma ascendente o descendente.
Ejemplos:
v P(x) = 4x4 + 12x2 – 3x + 7
Es un polinomio ordenado descendentemente respecto a x.
v P(x,y,z)=21xz4– 34x5y2z + 41x7y4
Es un polinomio ordenado ascendentemente respecto a x e y, además es ordenado descendentemente respecto a z.

POLINOMIO COMPLETO.- Respecto a una variable, es aquel que presenta todos los exponentes de dicha variable, desde el cero hasta un valor máximo. Estos exponentes no necesariamente deben estar ordenados.
Ejemplos:
P(x) = 4x3 + 12x – 7x2 + 16
P(x,y) = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
Nota: Si un polinomio tiene una sola variable y además es completo, entonces el número de términos será igual a su grado aumentado en una unidad.

POLINOMIO HOMOGÉNEO.-Es aquel en el cual todos sus términos tienen el mismo grado absoluto, al cual se le llama grado de homogeneidad.
Ejemplo:

P(x,y)=3x3y12+ 23x8y7 – 15x15 – 13y15

15 15 15 15
Nota: Un polinomio en dos variables, si está ordenado decrecientemente respecto a una de ellas y si es homogéneo estará ordenado crecientemente respecto a la otra variable.

POLINOMIO IDÉNTICAMENTE NULO.- Es aquel polinomio cuyos coeficientes son todos ceros.
Ejemplo:
P(x) = (n – m) x2 + (p – q) x, si es idénticamente nulo:
n – m = 0 Þ m = n
p – q = 0 Þ p = q

POLINOMIOS IDÉNTICOS.- Dos polinomios son idénticos si sus términos semejantes tienen coeficientes iguales.

Ejemplo:
p(x) = ax2 + bx + c
q(x) = dx2 + ex + f :
p(x) q(x) si se cumple:
a = d ; b = e ; c = f

Notas:
1. P(x) = c, cÎÂ se llama polinomio constante.
2. P(x) = tiene un solo término se llama monomio.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. Calcular el valor de “a” en los siguientes polinomios completos:
a) P(x) = 4xa + 4x2 + 3 – 2x
Rpta: ……………..
b) Q(x) = 2x + xa+2 + x2 – 4
Rpta: ……………..
c) R(x)=3xa+2+xa+1+5xa+3–2x+1
Rpta: ……………..
2. En el polinomio completo:
P(x)=axa+3+3xa+1+5x3 – 2ax + a2
Calcule la suma de coeficientes:
Rpta: ……………..
3. Dado el polinomio completo:
P(x) = mxm + nxn + mnp + pxp
Calcular: m + n + p
Rpta: ……………..
4. Ordenar en forma ascendente y descendente los siguientes polinomios:
a) P(x) = 25x5 + 3x7 – 2x + 4
…………………………………………………………
b) R(x) = 1 – x + x3 – x7 + 2x2
………………………………………………………..
c) Q(x) = ax + nx3 – bx2 + abc
………………………………………………………..

5. Ordene en forma ascendente y descendente los siguientes polinomios primero relativo a “x” y luego a “y”.
a) P(x, y)=x3y4–5xy2 + 2x7y3 – 2ab
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

b) P(x,y)=axm+1yn-2+bxmyn+cxm-2yn+1– abc
……………………………………………………………………………………………………………………..……………………………………………..…………………………………………………

6. Dado el polinomio completo y ordenado.
P(x)=2axa+3 + 5x3 – 7x2 + ax + 3
Calcule la suma de coeficientes.
Rpta: ………………

7. Dado el polinomio completo y ordenado:
P(x)=3x2a-1+4x4+2xb+1+3x2–x+ab
Calcule el término independiente.
Rpta: ………………

8. Si el polinomio es completo y ordenado en forma ascendente.
P(x) = axc-1 + bxb + cxa
Calcular la suma de coeficientes.
Rpta: ………………
9. Si el polinomio:
P(x) = abxc + caxb + bcxa + abc
Es completo y ordenado:
Calcular: a + b + c
Rpta: ………………
10. De la pregunta (9), calcule la suma de coeficientes y el término independiente.
Rpta: ………………
11. Si el polinomio:
P(x, y) = 3x3ya + 2x2y7 – x9; es homogéneo
Calcular:
Rpta: ………………

12. Dado el polinomio homogéneo.
P(x, y) = 2x4ya+1 – x3yb + 5x2y7
Calcular: a . b
Rpta: ………………

13. Dado el polinomio homogéneo
P(x, y) = 3xay2 – xby4 + 5x5y6
Calcular: a + b
Rpta: ………………

14. Dado el polinomio homogéneo
P(x) = axa + bxb – cxc + 2x2
Calcular la suma de coeficientes
Rpta: ………………

15. El polinomio homogéneo
P(x, y) = axayb + bxcyd + (c + d)x5
Tiene como suma de coeficientes a:
Rpta: ………………

16. Si: R(x) y Q(x) son idénticos
R(x) = bx2 + 3x + c
Q(x) = (2b - 2)x2 + ax + 2
Calcular: a + b + c
Rpta: ………………

17. Si: R(x) = 12x4 – 5x + 7 es idéntico con:
Q(x) = abx4–5x+a+b (Nota: a > b)
Calcular: a – b
Rpta: ………………

18. Dados los polinomios idénticos:
P(x, y) = 5x5 – 2x3 + 4
R(x, y) = ax3 + c – bx5
Calcular: a . b . c
Rpta: ………………

19. Dados los polinomios idénticos:
P(x) = (a2 - 1)x2 + (b - 1)x + c + 2
Q(x) = 8x2 + 7 + 5x
Calcular: a + b + c
Rpta: ………………

20. Dados los polinomios idénticos:
R(x) = (a + b)x3 + (c + d)x + 4
Q(x) = 3x3 + e + x
Calcular: a + b + c + d + e
Rpta: ………………
21. Dados los polinomios idénticamente nulos. Calcular: A, B y C
(A - 3)x2 + (C + 2)x + B – 5 º P(x)
R(x)= (A2 - 4)x2 + (B3 - 8)x + C – 2
Q(x) = (A+3)x2–5x+4 – x2 + Bx – C
Rpta: ………………
22. Si: P(x) = mx2 + nx + p es idéntico con Q(x) = cx2 + dx + e
Calcular: Rpta: ………………
23. Si: P(x)= (a - b)x2 + (c - d)x + e – f
Es idénticamente nulo.
Calcular:
Rpta: ………………
24. Calcular (mn) sabiendo que el polinomio es homogéneo.
Rpta: ………………
25. Calcular la suma de coeficientes de P(x) sabiendo que es un polinomio completo.
P(x) = 5xm+2 – 3x4 + 4x2 + 3x + 2m
Rpta: ………………
26. Se tienen los polinomios:
M(x) = 3x2 + (b + 3)x + c2 – 3
N(x) = (7 - a)x2 + (2b + 1)x + 1
Donde: M(x) º N(x)
Hallar: E = a – b – c
Rpta: ………………
27. Dados los polinomios idénticos.
M(x) = 3x4 – (a + b)xa
N(x) = (b + n)xa+1 – x3
Calcular:
Rpta: ………………
28. El polinomio es idénticamente nulo:
P(x)=(a2+b2–2ab)x3+(b2+c–2bc)x2+
(a-c)x+d-3
Hallar:
Rpta: ………………
29. Si: P(x) es completo y ordenado
Hallar: “b”
P(x) = axa+b – xa+2 – x2a + 3xa + xa-1
Rpta: ………………
30. Si el polinomio esta ordenado en forma ascendente:
P(x)=5x3+ 7x8 + 9xm+3 + bxn+2 + x11
Hallar: “m + n”
Rpta: ………………








TAREA DOMICILIARIA


1. Calcular (ab) sabiendo que el polinomio es homogéneo:
a) 10 b) 20 c) 25
d) 28 e) 35
2. Hallar la suma de coeficientes de Q(x) sabiendo que es un polinomio completo.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e)
3. Se dan los polinomios:
P(x) = (a - 3)x2 + (b2 - 2)x + 1
Q(x) = 5x2 + 2x + c
Donde: P(x) º Q(x)
Hallar: E = a + b - c
a) 2 b) 3 c) 4
d) 9 e) 10
4. Dados los polinomios idénticos:
P(x) = x3 – 4xa
Q(x) = xa+2 + (b – 2a)x
Calcular: a + b
a) -2 b) -1 c) 0
d) 1 e) 2
5. El polinomio es idénticamente nulo:
P(x)= (m-3)x4+(n2-4)x3+(n-2)x2+px+c - 4
Hallar:
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4

6. Si: Q(x) es complete y ordenado
Hallar: “m2”
a) 2 b) 4 c) 3
d) 1 e) 0
7. Si el polinomio esta ordenado en forma ascendente:
P(x) = mxn+1 + bx3 + 5x4+n + 3x5
Hallar: “n”
a) -1 b) 0 c) 1
d) 2 e) 3
8. Sea P(x) un polinomio mónico:
P(x) = (a - 6)x3 + 7x2 + (2a - 13)x4 + ax
Hallar: F = åcoeficientes
(å indica sumatoria)
a) 13 b) 14 c) 15
d) 16 e) 17
9. Indicar cuantos de los polinomios son homogéneos:
Donde (m, n, p Î Z+)
I. P(x, y) = 3xm+nyp + 5xmyn+p
II. M(x, y) = 5x3ym+n + xm+3yn+1
III. N(x, y) = 4x2y3+p + 7x5yp
a) Sólo I b) Sólo II c) Todas
d) I y III e) Sólo III
10. Calcular: (m + n + p)
Si: P(x) º M(x)
Siendo: P(x) = 3x3 + 4x2 + 2x + 1
Q(x)=(m+n-1)x3+(n+p-2)x2+(p)x + 1
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 12
11. Sea P(x) un polinomio
idénticamente nulo:
P(x)=(m + n + 3)x2+ (2m + n - 1)x + n - 2
Hallar: E = (m + n)50
a) 3000 b) -1 c) 0
d) 1 e) m + n – mn

12. Indicar el GR(x) si el grado de homogeneidad de M(x, y) es 12.
M(x, y) = 5xa+b + 3xbyb + 4xmyn
(Donde m < 4)
a) 8 b) 10 c) 21
d) 12 e) 14
13. Señale el grado del polinomio entero y ordenado en forma estrictamente decreciente.
P(x) = x12-2a + x2a-4 + x4-2a
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
14. Si: ax2 + bx + c º (mx + n)2
Calcular:
a) 4/5 b) 5/3 c) 3/5
d) 1/3 e) 1/5
15. Hallar la suma de coeficientes del siguiente polinomio :
P(x, y)=mxa+bx + bxb + xm . y3
Sabiendo que es completo y ordenado.
Respecto de x.
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 10

VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO.- Consiste en asignar a la variable o variables un número definido tal que al reemplazar en la expresión original se obtenga una cantidad definida.
Ejemplo:
· Si Hallar
Solución:

· Si Hallar
Solución:


CAMBIO DE VARIABLE EN UN POLINOMIO.- Consiste en reemplazar la variable de la expresión o polinomio de tal manera que el polinomio resultante dependa (o quede en función) de dicho cambio.
Ejemplo:
· Si Hallar
Solución:

· Si Hallar
Solución:
Igualando y despejando “x”


EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. Halle el VN de 5ab + 3b – 2a para a = 1; b = 2
2. Calcule el VN de los siguientes polinomios para: x = 2 , y = 1 , z = 3
a) P(x, y) = 7x – 10y
Rpta.: …………………..
b) P(x, y, z) = 8z + 3x – y
Rpta.: …………………..
c) P(x, y, z) = 3z + 3x + 3y
Rpta.: …………………..
d) P(x, y, z) = y – 3x + 7z
Rpta.: …………………..
e) P(x, y, z) = 93x – 3y2 – 2
Rpta.: …………………..
f) P(x, y) = 12y2 + 3x + 32
Rpta.: …………………..
g) P(x) = x2 + x + 1
Rpta.: …………………..
h) P(x) = (x - 1) (x - 3)
Rpta.: …………………..
i) P(x, y) = y2(x - 4)
Rpta.: …………………..
3. Calcule el valor de E para los siguientes casos
a) P(x) = x(x - 4)(x - 7)
E = P(1) – P(3)
Rpta.: …………………..
b) P(x, y) = 7x – 10y
E = P(1, 2) – P(3, 1)
Rpta.: …………………..
c) P(x, y, z) = 8x2 – 3y + 7z
E = P(1, 3, 2) – P(0, 1, 2)
Rpta.: …………………..
d) P(x, y, z) = 3x – 1
E = P(2) + P(-2)
Rpta.: …………………..
e) P(x, y, z) = 5xy + yz + z
E = P(1, 1, 1) + P(2, 1, 3)
Rpta.: …………………..

4. Halle el V.N. en cada polinomio para : x = 2; y = 3; z = -2
a) P(x) = 29x – 29
Rpta.: …………………..
b) P(y) = 3y – 9
Rpta.: …………………..
c) P(z) = 24z + 12
Rpta.: …………………..
d) P(x, y) = 12x + 24y – 36
Rpta.: …………………..
e) P(y, z) = 13y – 39z – 117
Rpta.: …………………..
f) P(x,y,z)= 17x2 + 3xy + 3z2
Rpta.: …………………..
5. Calcule el valor de E para cada caso :
a) P(x) = (x + 2)(x - 3)
E = P(1) + P(4)
Rpta.: …………………..
b) P(x, y) = (x - 7)(y - 3)
E = P(1, 2) + P(7, 6)
Rpta.: …………………..
c) P(x,y,z)=2(x-3)(y+2)(z-1)
E = P(1, 2, 3) – P(3, -1, -3)
Rpta.: …………………..
d) P(x) = 8x2 + 3x – 1
E = P(1) – P(3)
Rpta.: …………………..
e) P(x,y,z) = 9xy + 3z2y – 3xz
E = P(1, 0, 3) – P(2, -3, 4)
Rpta.: …………………..
f) P(x, y) = 7xy – 3y2 + x
E = P(12, -3) + P(1, 1)
Rpta.: …………………..
6. Calcular “A”
Si: M(x) = 2x4
Si:
Rpta.: …………………..
7. Calcular: P(7)
Si: P(x) = -x5 + 7x4 + 2x – 10
Rpta.: …………………..
8. Si: P(x) = 2x + 4
Calcular: M=P (P (P (P ( 3 ) ) ) )
Rpta.: …………………..
9. Si: P(x) = 2x – 1
Q(x) = x + 3
Calcular: P(Q(x))
Rpta.: …………………..
10. Si: P(x) = x + 5
Q(x) = x + 2; Calcular: P(Q(x))
Rpta.: …………………..
11. Calcular: “A”
Si: M(x)=4x;
Rpta.: …………………..
12. Si: P(x) = x2 + 3x + 4
Calcular: P(2) + P(3)
Rpta.: …………………..
13. P(x) = 2x + 4
A = P (P (P (P ( 2 ) ) ) )
Rpta.: …………………..
14. Si: Q(x) = x + 5
P(x) = x + 3; Calcular: P ( Q ( x ) )
Rpta.: …………………..

15. A(x) = 2x + 4
R(x) = 2x + 5
Calcular: A (R (x) )
Rpta.: …………………..
16. Si: P(x) = 2x – 4
Calcular: A = P(1) + P(2)
Rpta.: …………………..
17. Si: P(x, y) = 2xy – x + 3y
Calcular: A = P(2; 3) + P(0; 1)
Rpta.: …………………..
18. Si: P(x) = 3x + 5
Calcular: M = P(a + 2) – P(a - 2)
Rpta.: …………………..
19. Si: P(x) = 2x – 1
Calcular: A = P (P (P (P (0) ) ) )
Rpta.: …………………..
20. Si: P(x) = 5x – 2; R(x) = 2x + 3
Calcular: A = P(R(2))
Rpta.: …………………..
21. Si: P(x) = 3x + 5; Q(x) = 2x – 1 y R(x) = 3x + 2
Calcular: A = P (Q (R (0) ) )
Rpta.: …………………..
22. Si: P(x) = 2x + 1; Q(x) = 2x – 1
Calcular: P (Q (x) )
Rpta.: …………………..
23. Si: M(x, y) = 2xy2
Calcular:
Rpta.: …………………..

24. Calcular: Q(Q(x)), si Q(x) = 3x – 2
Rpta.: …………………..
25. Calcular: P (P (P (P (2) ) ) )
Si: P(x) = 2x – 1
Rpta.: …………………..
26. Si: P(x) = x + 2
Calcular: A = P (P (P (P (3) ) ) )
Rpta.: …………………..
27. Si: P(x) = x + 3; R(x) = 2x – 1
Calcular: A = P(R(2))
Rpta.: …………………..
28. Si: P(x) = 5x + 3; R(x)= 3x + 2
Calcular: A = P(R(x))
Rpta.: …………………..
29. Del problema anterior. Calcular: B = R(P(x))
Rpta.: …………………..
30. Si: P(x) = 3x + 4
Calcular: M = P(P(x))
Rpta.: …………………..
31. Si: P(x) = 3x – 1
Calcular: A = P (P (P (2) ) )
Rpta.: …………………..
32. Si: P(x) = 2x – 3. Hallar: P(z)
Rpta.: …………………..
33. Si: P(x) = 2x – 3. Hallar: P(x + 2)
Rpta.: …………………..
34. Si:
Hallar:
Rpta.: …………………..
35. Si: P(x) = 5x2 + 7x - 12
Hallar:
Rpta.: …………………..
36. Si: P(x) = 5x5 – 3x2 + 7x + 15
Hallar: P(-1)
Rpta.: …………………..
37. Si: P(x) = x4 – 2x2 + 1
Hallar: P[P[P[P[P(0)]]]]
Rpta.: …………………..
38. Si: P(x) = 3x + 2
Hallar: P(5x) – 5P(x)
Rpta.: …………………..
39. Si: P(3x - 2) = 6x + 1
Hallar: P(x)
Rpta.: …………………..
40. Si: P(4x - 1) = 8x – 7
Hallar: P(x + 1)
Rpta.: …………………..
TAREA DOMICILIARIA

1. Si: P(x) = 2x + 5
Hallar: P(m) =
a) 2m+3 b) 2m+4 c) 2m+1
d) 2m + 5 e) 2m - 5

2. Si: P(x) = 2x – 7
Hallar: P(x + 5)
a) 2x + 5 b) 2x+10 c) 2x + 3
d) 2x – 2 e) 2x - 5
3. Si:
Hallar:

a) b) c)
d) 1 – 5z e) 1 + 5z

4. Si: P(x) = 3x2 – 2x - 1
Hallar:
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
5. Si: P(x) = 7x4 – x2 – 3x – 6
Hallar: P(1)
a) 7 b) 6 c) 3
d) 30 e) N.A.
6. Si: P(x) = 2x – 1
Hallar: M = P[P[P(0)]]
a) -1 b) -3 c) -7
d) -8 e) -9
7. Si: P(x) = 2x + 6
Hallar: P(4x) – 4P(x)
a) 16 b) 18 c) -18
d) -20 e) -16
8. Si: P(2x - 1) = 8x + 4
Hallar: P(x)
a) 4x + 2 b) 2x+3 c) 3x+ 5
d) 4x + 6 e) 4x + 8

9. Si: P(4x + 2) = 4x - 6
Hallar: P(x - 1)
a) x + 2 b) x – 3 c) x - 7
d) x – 10 e) x - 9
10. Si: P(x) = 5x + 2
Además: P(7x + 2) = mx + n
Hallar:
a) 2 b) 4 c) 6
d) 7 e) 8
11. Si: P(x) = ax + b
Además: P(4) = 3 Ù P(3) = 1
Hallar: P(x)
a) 2x+3 b) 2x+5 c) 2x - 5
d) 2x – 3 e) 2x+ 7
12. Si: P(x) = 2x + 1
Q(x) = x – 3
Hallar: Q(P(x))
a) 2x+3 b) 2x+4 c) 2x + 5
d) x + 4 e) 3x + 5
13. Si: P(x) = ax + m
Además: P(P(x)) º 16x + 20
Hallar:
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
14. Si: x ¹ 1 Ù
Calcular: F(F(x))
a) b) c) x
d) e) x2
15. Se sabe que: P(x) = x2 - 2
Hallar:
E = P(P(P………P(P(0)))))…..)
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4


EJERCICIOS DE REPASO


1. En el monomio:
M(x,y) = 5(a–b) xa+b y; el grado absoluto es “6” y el grado relativo a “x” es igual al coeficiente del monomio calcular el valor de “a”.
Rpta: ………………..

2. Si el grado absoluto de P es 16 y el menor exponente de “y” en el polinomio Q es 4, calcular el grado de “Q”.
P=xm+11yn–3– xm+7 yn+2 + xn+2 ym+1
Q=x2m+6yn+2–x2m+2 yn+7 + x3m yn+10
Rpta: ………………..

3. Hallar el valor de “m” para que el monomio sea de grado absoluto 100 y el grado relativo a Y sea 40.
M(x,y) = x4(m+n) y3m–2n
Rpta: ………………..
4. Hallar el valor de “n” para que el monomio:
E = sea de primer grado
Rpta: ………………..
5. Si la expresión:
tiene por grado relativo a “x”, 12 y por grado relativo a “y”, 7. El grado relativo a “z” es:
Rpta: ………………..
6. Hallar el valor de n si el término algebraico 7xn+3 y5 zn-2 es de grado 12.
Rpta: ………………..

7. Dada la expresión algebraica:
6xm-2 yn+5 + 3xm-3 yn + 7xm-1 yn+6
Hallar m.n., si el grado absoluto es 17 y el grado relativo a “x” es 6.
Rpta: ………………..

8. Hallar el coeficiente de:
M = (1/2)n 9m x3m+2n y5m-n
cuyo grado absoluto es 20 y el grado relativo a x es 14.
Rpta: ………………..

9. Si la expresión:
, se reduce a un monomio. Halle el grado absoluto de la expresión:

Rpta: ………………..

10. Hallar “a . b” si el G.A. del monomio es igual a 17, y su coeficiente tiene el mismo valor que el G.R. (x), siendo el monomio:
P(x,y) = (a + b) x2(a-1) y3b
Rpta: ………………..



11. Sabiendo que los términos:
(a+2) x2a–3 y3b–1 ; (b–5) xa+5 y2a+b+7 son semejantes. Calcular la suma de sus coeficientes.
Rpta: ………………..
12. Si los términos: xm+n ym–n ; x13–n y1–m, son semejantes, calcular los valores de “m” y “n”.
Rpta: ………………..
13. Si el polinomio:
P(x,y)=xm+2 y3 + xn–1 ym + xn+3 y es homogéneo, el valor de
2m – n es:
Rpta: ………………..
14. En el polinomio homogéneo:
P(x,y) = xm + yn+p + xn yp + xp yn + xq yr + xr yq
la suma de todos los exponentes es 54.
El valor de E = m + n + p + q + r es:
Rpta: ………………..
15. Determinar p + q sabiendo que la igualdad se cumple para todo valor x:
27 – 6x = p(x – 2) + q(x + 1)
Rpta: ………………..
16. Si:
P(x) = (a2+b2–ab)x5 + (b2+c2– bc)x3 + (c2+a2–ac)x
es un polinomio idénticamente nulo;
hallar: E =
Rpta: ………………..
17. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda en cada una de las siguientes afirmaciones:
I. Si un polinomio P(x) es de grado ”n”, entonces tendrá (n + 1) términos. ( )
II. Si un polinomio P(x,y) es homogéneo, entonces el GR(X) = GR(y) = GA(P). ( )
III. Si un polinomio es completo y ordenado entonces es homogéneo. ( )

18. Determinar “m.p” si el polinomio:
P(x,y) = mxm+2ny3+2nx2my2n–(xy)p+n es homogéneo.
Rpta: ………………..
19. Para qué valor de “n” la expresión:
M(x) = resulta ser un monomio de grado 2.
Rpta: ………………..
20. Siendo: P(x)=a(x–1)(x–2)+b(x–1)+c y Q(x)=x2–5x+1 polinomios idénticos, encontrar el valor de:
“a + b + c”
Rpta: ………………..




TAREA DOMICILIARIA



1. Hallar el grado de la expresión
M(x) = 3a4x7y2z
A) 14 B) 7 C) 10
D) 11 E) N.A.

2. Hallar el grado de:
P(x,y) = 5a2b3xm+3 y2m+1 zm+3
A) 4m+10 C) 4m+12 C) N.A.
D) 4m+7 E) 2m+1

3. Hallar el valor de “b” para que el grado de:
P(x,y) = (3abx3b+3y2) sea 20
A) 5 B) 8 C) 10
D) 3 E) 12

4. Calcular el grado absoluto de:
M(x,y) = 9x7y12 – 3x9y12 + 2x11y13
A) 24 B) 18 C) 19
D) 21 E) 23

5. Dado el monomio:
M(x,y) = 4mnx2m+3ny5n-m
Se tiene: GA(M) = 10 GR(x) = 7
Señalar su coeficiente
A) 2 B) 4 C) 8
D) 64 E) 16

6. Señalar el valor de “n” para el cual la expresión:
P(x) =
es de segundo grado.
A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E) 8
7. Calcular el valor de “a” si el monomio es de grado 3.
M(x)=
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
8. Sabiendo que el polinomio:
P(x,y)=x3m+n–1ym+n+2+3x3m+nym+n–1 +x3m+n+1ym+n+1
es de grado absoluto 36 y la diferencia entre el grado de “x” y el menor exponente de “y” es 12. Hallar “n”.
A) 6 B) 8 C) 9
D) 10 E) N.A.
9. Sabiendo que el polinomio es homogéneo, calcular “mn”.
P(x,y) = x3m–2n y7 – 2x8 y10 + x2m ym+n+1
A) 10 B) 15 C) 20
D) 18 E) 24
10. Calcular la suma de coeficientes del polinomio, sabiendo que es homogéneo.
A) 50 B) a+b C) 51
D) a–b E) F.D.
11. Hallar: m + n para que el binomio:
P(x,y) = x3m+2n–5 ym–n+4 + x3m+2n–1 ym–n+2
sea de grado absoluto 28 y de grado relativo a “y” 2.
A) 4 B) 6 C) 8
D) 10 E) 12

12. Señalar el coeficiente del monomio:
M(x,y) = (2m) (5) (m+n) xm–n y2m+n
si es de noveno grado y de octavo grado relativo a “y”.
A) 100 B) 200 C) 300
D) 400 E) 500
13. Si el polinomio siguiente es
idénticamente nulo, hallar mn.
P(x,y)=(m+n)xy2+2x2y–18xy2+ (n–m) x2 y
A) 80 B) 70 C) 35
D) 36 E) 32
14. Calcular el valor de “m” si en la siguiente expresión:
E(x,y) = el grado absoluto es 18.
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) N.A.
15. Si un polinomio:
P(x)=mxm–1+nxn – 2+(p–1)xq – 3 +qxp +1 + 1
Es completo y ordenado, hallar la suma de sus coeficientes.
A) 15 B) 16 C) 20
D) 21 E) 25
16. Hallar “m + b + p” para que el polinomio:
P(x)=5anxm – 10–4bmxm – p + 5+7cxb – p + 6
Sea completo y ordenado en forma descendente.
A) 34 B) 36 C) 38
D) 40 E) 32
17. Hallar “a/b”, si el polinomio:
P(x, y) = 3mnxayb(mx2a + 1 +ny6b + 1) es homogéneo.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
18. Calcular la suma de coeficientes del siguiente polinomio completo:
P(x)=c(xa+xb)+a(xb+xc)+b(xa+xc)+abc
A) 6 B) 12 C) 15
D) 18 E) N.A.